Reglas básicas de derivación : la derivada de una constante, de una constante por una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.

Reglas de derivación Derivada de una constante por una función H) f es derivable en x=a T) (kf(a))' = k.f'(a) Demostración: f'(a) ------^------ k.f(x) - k.f(a) (f(x) - f(a)) (k.f(a))' = lim ---------------- = lim k ------------- = k.f'(a) x->a x - a x->a x - a Nota: El teorema anterior da el valor de la derivada en el punto a. Como a es un punto genérico, lo sustituimos por x y tenemos la función derivada: (kf)'(x) = k.f'(x), si f es derivable en x. Teorema Derivada de la suma La derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas de cada función. H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a T) f+g es derivable en x=a     (f+g)'(a) = f'(a) + g'(a) Demostración: (f+g)(x) - (f+g)(a) f(x) + g(x) - f(a) - g(a) (f+g)'(a) = lim ------------------- = lim ------------------------- x->a (x-a) x->a (x-a) f(x) - f(a) g(x) - g(a) = lim ----------- + ------------ = f'(a) + g'(a) x->a (x-a) (x-a) Notas: En general (f+g)'(x) = f'(x) + g'(x), si f y g son derivables en x. El teorema se extiende a más de dos funciones. Ejemplo (x + Lx)' = x' + (Lx)' = 1 + 1/x Teorema Derivada del producto H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a T) f.g es derivable en x=a     (f.g)'(a) = f'(a).g(a) + f(a).g'(a) Demostración: (f.g)(x) - (f.g)(a) f(x).g(x) - f(a).g(a) (f.g)'(a) = lim ------------------- = lim -------------------- x->a (x-a) x->a (x-a) f(x).g(x) - f(a)g(a) + f(a)g(x) - f(a)g(x) = lim ------------------------------------------ = x->a (x-a) f'(a) g'(a) (*) g(a) -----^----- -----^----- -^- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a)) lim g(x)------------- + f(a)------------- = f'(a).g(a) + g'(a).f(a) x->a (x-a) (x-a) (*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a => (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a). Notas: (f.g)'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x). Generalización para tres funciones:(f(x).g(x).h(x))' = f'(x).g(x).h(x) + f(x).g'(x).h(x) + f(x)g(x).h'(x) Ejemplo (x2.sen x)' = 2xsen x + x2cos x Teorema Derivada del cociente H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=a, g(a) distinto de 0 T) f/g es derivable en x=a     (f/g)'(a) = (f'(a).g(a) - f(a).g'(a))/g2(a) Demostración: (f/g)(x) - (f/g)(a) f(x)/g(x) - f(a)/g(a) (f/g)'(a) = lim ------------------- = lim --------------------- x->a x - a x->a x - a f(x)g(a) - g(x)f(a) + f(a)g(a) - f(a)g(a) = lim ----------------------------------------- = x->a (x - a)g(x)g(a) f'(a) g'(a) -----^----- -----^----- (f(x) - f(a)) (g(x) - g(a)) g(a)------------- - f(a)------------- g(a)f'(a) - f(a)g'(a) lim x - a x - a = -------------------- x->a ------------------------------------ g2(a) g(x)g(a) '--> g(a) (*) (*) Pues g es derivable en a => (teorema) g es continua en a => (def. de continuidad) existe g(a) y limx->ag(x)=g(a). Nota: (f/g)'(x) = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/g2(x). Ejemplo (cos x)x2 - (sen x)2x xcos x - 2sen x (sen x/x2)' = --------------------- = --------------- x4 x3 Teorema Derivada de la función compuesta Regla de la cadena H) f es derivable en x=a, g es derivable en x=f(a) T) gof es derivable en x=a     (gof)'(a) = g'[f(a)].f'(a) Demostración: g[f(x)] - g[f(a)] (gof)'(a) = [g[f(x)]'(a) = lim ----------------- = x->a x - a g'[f(a)] f'(a) --------^-------- ----^---- g[f(x)] - g[f(a)] f(x) - f(a) lim ------------------ . ---------- = g'[f(a)].f'(a) x->a f(x) - f(a) x - a Nota: (gof)'(x) = g'[f(x)].f'(x). Ejemplo 1 h(x) = ex2 + 2x h es la composición de g(x) = ex y f(x)=x2 + 2x. h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = ex2+2x.(2x + 2) Ejemplo 2 h(x) = sen(x2) h es la composición de g(x)=sen x y f(x)=x2. h'(x) = g'[f(x)].f'(x) = cos (x2).2x Teorema Derivada de la función inversa H) f es derivable en x=a (f'(a) distinto de 0)     f-1(x) es continua en f(a) T) f-1 es derivable en x=f(a).     [f-1(f(a))]' = 1/f'(a) Demostración: Queremos calcular f-1(x) - f-1(f(a)) f-1(x) - a lim ----------------- = lim ------------ x->f(a) x - f(a) x->f(a) x - f(a) Definamos g(x)=(f(x) - f(a))/(x - a) para todo x distinto de a. Consideremos (gof-1)(x) / (gof-1)(x) = g[f-1(x)] 1) lim f-1(x) = a pues f-1(x) es continua en f(a) por H) x->f(a) f(x) - f(a) 2) lim g(x) = lim ----------- = f'(a) pues f es derivable en a x->a x->a x - a por H) => De 1) y 2) por límite de la función compuesta lim g[f-1(x)] = f'(a) x->f(a) f[f-1(x)] - f(a) x - f(a) g[f-1(x)] = ---------------- = ---------- f-1(x) - a f-1(x) - a f-1(x) - a 1 => lim ------------ = ----- x->f(a) x - f(a) f'(a) Nota: (f-1)'(f(x)) = 1/f'(x). Ejemplo y = f(x) = ex x = f-1(y) = Ly f-1'(f(x)) = 1/f'(x) = 1/ex = 1/y Así, la derivada de Ly es 1/y.         f Ly = x ----------> ex = y <---------- f-1